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1、试题题目:已知F1、F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,O..

发布人:繁体字网(一分块3和极速快乐8 www.vh8s8.cn) 发布时间:2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知F1、F2是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,椭圆上的点到焦点距离的最大值为
2
+1,最小值为
2
-1
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)已知⊙O是以F1F2为直径的圆,一直线l:y=kx+m与⊙O相切,与椭圆C交于不同的两点A(x1,y1)、B(x2,y2),且满足
2
3
≤x2?x2+y1?y2
3
4
,求△AOB面积S的最大值.

  试题来源:桂林二模   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:椭圆的标准方程及图象



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(Ⅰ)由题设知
a+c=
2
+1
a-c=
2
-1
,
解得a=
2
,c=1,
∴b2=1.
∴椭圆的标准方程为
x2
2
+y2=1

(Ⅱ)∵圆O与直线l相切,
|m|
k2+1
=1
,
∴m2=k2+1.
x2
2
+y2 =1
y=kx+m
,消去y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,
∵直线l与椭圆交于两个不同的点,
∴△=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-2)>0,
∴k2>0.
x1+x2=-
4km
1+2k2
,x1?x2=
2m2-2
1+2k 2
=
2k2
1+2k2
,
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2  +km(x1+x2)+m2=
1-k2
1+2k2
,
x1x2+y1y2=
1+k2
1+2k2
,
2
3
≤x2?x2+y1?y2
3
4
,
2
3
1+k2
1+2k2
3
4
,
1
2
k2≤1
,
S△AOB=
1
2
?|AB|?1

=
1
2
1+k2
?
(-
4km
1+2k2
)2-4×
k2
1+2k2

=
2(k4+k2)
4(k4+k2)+1
,
设μ=k4+k2,则
3
4
≤μ≤2
,
S=
4μ+1
,μ∈[
3
4
,2]
,
∵S关于μ∈[
3
4
,2]
上单调递增,
∴△AOB面积S的最大值为S(2)=
2×2
4×2+1
=
2
3
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

一分块3和极速快乐8 www.vh8s8.cn     经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知F1、F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,O..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中椭圆的标准方程及图象”。


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