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1、试题题目:在数列{an}中,a1=1,an+1=can+cn+1(2n+1)(n∈N*),其中实数c≠0.(..

发布人:繁体字网(一分块3和极速快乐8 www.vh8s8.cn) 发布时间:2016-02-01 07:30:00

试题原文

在数列{an}中,a1=1,an+1=can+cn+1(2n+1)(n∈N*),其中实数c≠0.
(1)求a1,a2,a3,a4;
(2)猜想{an}的通项公式并用数学归纳法证明;
(3)若对一切k∈N*有a2k>azk-1,求c的取值范围.

  试题来源:不详   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:数学归纳法



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(1)由a1=1,
a2=ca1+c2?3=3c2+c=(22-1)c2+c,…(1分)
a3=ca2+c3?5=8c3+c3=(32-1)c3+c2,…(2分)
a4=ca3+c4?7=15c4+c3=(42-1)c4+c3,…(3分)
(2)猜测an=(n2-1)cn+cn-1,n∈N*.…(5分)
下用数学归纳法证明.
当n=1时,等式成立;
假设当n=k时,等式成立,即ak=(k2-1)ck+ck-1,…(6分)
则当n=k+1时,ak+1=cak+ck′+1(2k+1)=c[(k2-1)ck+ck-1]+ck+1(2k+1)
=(k2+2k)ck+1+ck=[(k+1)2-1]ck+1+ck,…(7分)
综上,an=(n2-1)cn+cn-1对任何n∈N*都成立.…(8分)
(3)由a2k>a2k-1,得[(2k)2-1]c2k+c2k-1>[(2k-1)2-1]c2k-1+c2k-2,…(9分)
因c2k-2>0,所以(4k2-1)c2-(4k2-4k-1)c-1>0.
解此不等式得:对一切k∈N*,有c>ck或c<c k′,
其中ck=
(4k2-4k-1)+
(4k2-4k-1)2+4(4k2-1)
2(4k2-1)
,ck/=
(4k2-4k-1)-
(4k2-4k-1)2+4(4k2-1)
2(4k2-1)
.…(10分)
易知
lim
k→∞
ck=1
,
又由
(4k2-4k-1)2+4(4k2-1)
(4k2-1)2+4(4k2-1)+4
=4k2+1
,
ck
(4k2-4k-1)+4k2+1
2(4k2-1)
=
8k2-4k
8k2-2
<1
,…(11分)
因此由c>ck对一切k∈N*成立得c≥1.…(12分)
ck/=
-2
(4k2-4k-1)+
(4k2-4k-1)2+4(4k2-1)
<0
,
易知ck′单调递增,故 ck′≥c1′对一切k∈N*成立,
因此由c<ck′对一切k∈N*成立得c<c1/=-
1+
13
6
.…(13分)
从而c的取值范围为(-∞,-
1+
13
6
)∪[1,+∞)
.…(14分).
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

一分块3和极速快乐8 www.vh8s8.cn     经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“在数列{an}中,a1=1,an+1=can+cn+1(2n+1)(n∈N*),其中实数c≠0.(..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中数学归纳法”。


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